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Startseite Vorkurs Trigonometrie Rechtwinkliges Dreieck
Startseite Vorkurs Trigonometrie Rechtwinkliges Dreieck Diese Seite wurde aktualisiert am 08.09.2023

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck - Lösungen

 

Aufgabe 1 

Markieren Sie die richtigen Aussagen und korrigieren Sie die falschen Aussagen.

1. `sin alpha=b/d`

2. `tan delta=d/c`

3. `cos beta=b/m`

4. `tan gamma=d/c`

5. `sin delta=c/m`

6. `cos alpha=a/c`

Lösung

Korrektur der falschen Aussagen:

1. `sin alpha=b/m`

2 .`tan delta=c/d`

6. `cos alpha=a/m`

Aufgabe 2  

Markieren Sie die richtigen Aussagen:

 

`sin 45°=1`

`sin 0°=0`

`tan 45°=1`

`sin 45°=cos45°`

`cos 0°=0`

`sin alpha=cos(90°-alpha)`

Lösung

 

Aufgabe 3

 Ordnen Sie richtig zu:

Lösung

 

Aufgabe 4  

Von einem rechtwinkligen Dreieck mit `gamma=90°` sind jeweils 2 weitere Stücke gegeben. Entscheiden Sie jeweils ohne Rechnung, welche der angebotenen Lösungen richtig ist. Notieren Sie, welche Eigenschaft jeweils zu Ihrer Entscheidung geführt hat.

a)

a = 3; b = 4

  

c = 5; α = 36,9°; β = 53,1°

c = 4; α = 45°; β = 45°

c = 5; α = 60°; β = 30°

b)

α = 30°; a = 4

β = 60°; b = 3; c = 5

β = 60°; b = 6,93; c = 8

β = 70°; b = 6,93; c = 8

c)

α = 45°; c = 8

β = 45°; a = 5,7; b = 5,7

β = 45°; a = 6; b = 5

β = 45°; a= 9; b = 9

d)

β = 30°; c = 6

α = 60°; a = 5; b = 5

α = 60°; a = 3; b = 5,2

α = 60°; a = 5,2; b = 3

Lösung

 a) a = 3; b = 4

 Nach dem Satz des Pythagoras muss c den Wert 5 haben. Die 3. Lösung kommt nicht in Betracht, da der größeren Seite, also b, auch der größere Winkel gegenüber liegen muss.

b) α = 30°; a = 4

 Da `sin 30° = 0","5`, muss die Seite, die dem 30° Winkel gegenüberliegt, halb so groß sein wie c. Daher entfällt die 1. Lösung. Die 3. Lösung entfällt, da die Winkelsumme 180° betragen muss.

 

 Das Dreieck muss gleichschenklig sein, also entfällt die 2. Lösung. Da die Hypotenuse die größte Seite ist, entfällt auch die 3. Lösung.  

d) β = 30°; c = 6

 Da `sin 30° = 0","5`, muss die Seite, die dem 30° Winkel gegenüberliegt, halb so groß sein wie c. Daher kommt nur die 3. Lösung in Betracht.

Aufgabe 5

Berechnen Sie die fehlenden Seitenlängen bzw. Winkel, wenn gegeben sind:

 

  1. β = 40°, a = 5
  2. β = 30°, b = 4
  3. β = 70°, c = 6
  4. a = 5, c = 8
  5. a = 4, b = 6
  6. b = 3, c = 5

 

Lösung

a)

1. Bestimmmung von `alpha`: `alpha=90°-beta=50°`

2. Bestimmung von b: `tan beta=b/a hArr b=a*tan beta=4","195`

3. Bestimmung von c: `sin alpha= a/c hArr c=a/sin alpha = 6","527`

oder `c=a/cos beta` oder `c=sqrt(a^2+b^2)`

b)

1. Bestimmmung von `alpha`: `alpha=90°-30°=60°`

2. Bestimmung von a: `tan beta=b/a hArr a=b/tan beta=6","928`

3. Bestimmmung von c: `cos beta= b/c hArr c=b/cos beta = 4","619`

oder `c=a/sin alpha`  oder `c=sqrt(a^2+b^2)`

c)

1. Bestimmmung von `alpha`: `alpha=90°-beta=20°`

2. Bestimmung von b: `sin beta=b/c hArr b=c*sin beta=5","638`

3. Bestimmung von a: `cos beta=a/c hArr a=c*cos beta = 2","052`

oder `a=c*sin alpha` oder `a=sqrt(c^2-b^2)`

d)

1. Bestimmung von b: `b=sqrt(c^2-a^2)=6,245`

2. Bestimmmung von `alpha`: `sin alpha=a/c hArr alpha=sin^(-1)(a/c)=38","682°`

 oder `alpha=tan^(-1)(a/b)` oder `alpha=cos^(-1)(b/c)`

3. Bestimmung von `beta`: `beta=90°-alpha=51","318°`

e)

1. Bestimmung von c: `c=sqrt(a^2+b^2)=7","211`

2. Bestimmmung von `alpha`: `tan alpha=a/b hArr alpha=tan^(-1)(a/b)=33","69°`

oder `alpha=sin^(-1)(a/c)` oder `alpha=cos^(-1)(b/c)`

3. Bestimmung von beta: `beta=90°-alpha=56","31°`

f)

1. Bestimmung von a: `a=sqrt(c^2-b^2)=4`

2. Bestimmmung von `beta`: `sin beta=b/c hArr beta=sin^(-1)(b/c)=36","87°`

oder `beta=tan^(-1)(b/a)` oder `beta=cos^(-1)(a/c)`

3. Bestimmmung von `alpha`: `alpha=90°-beta=53","13°`

Aufgabe 6

Eine 3,50 m lange Leiter lehnt mit einem Anstellwinkel von 70° an einer 3,40 m hohen Mauer.

 

  1. Wie weit ist das obere Ende der Leiter von der Mauerkante oben entfernt?
  2. Wie weit ist das Fußende der Leiter von der Mauer entfernt?
  3. Kann man mit einer 3,70 m langen Leiter die Mauerkante erreichen, wenn der Anstellwinkel zwischen 65° und 80° betragen soll?

 

Quelle: pixabay.com

Lösung

a)

Entfernung h des oberen Endes der Leiter vom Erdboden:

`sin 70° = h/(3","5) hArr h=3","289`

Somit ist das obere Leiterende noch ca. 11 cm von der Mauerkante entfernt.

b)

`cos 70°=e/(3","5) hArr e=1","197`

Das Fußende der Leiter ist ca. 1,20 m von der Mauer entfernt.

c)

`alpha = sin^(-1)((3","5)/(3","7))=71,08°`

Da der Anstellwinkel im angegebenen Bereich liegt, kann man das obere Ende der Mauer erreichen.

Aufgabe 7

Berechnen Sie die restlichen Stücke, wenn gegeben sind:

 

  1. a = 7, h = 4, α = 50°, β = 70°
  2. a = 5, c = 3, α = 50°, β = 50°
  3. b = 4, c = 6, d = 5, h = 2
  4. Icon 2 Sterne 30x30a = 8, b = 3, c = 4, d = 2

Lösung

a)

1. Bestimmung von d: `sin alpha = h/d hArr d=h/sin alpha`. Es folgt d = 5,22.

2. Bestimmung von b: `sin beta = h/b hArr b=h/sin beta`.  Es folgt b = 4,26.

3. Bestimmung von `delta`: `delta=180°-alpha=130°` (Stufenwinkelsatz)

4. Bestimmung von `gamma`: `gamma=180° - beta=110°`  (Stufenwinkelsatz)

5. Bestimmung von c: `c=a-e-f=a-sqrt(d^2-h^2)-sqrt(b^2-h^2)=7-3,35-1,47=2,18`

b)

1. Bestimmung von d: Da das Trapez gleichschenklig ist, gilt `e=f=(a-c)/2=1`.

`cos alpha = e/d hArr d=e/cos alpha`. Es folgt `d = 1,56`.

2. Bestimmung von b: Wegen der Gleichschenkligkeit folgt `b = 1,56`.

3. Bestimmung von `gamma`: `gamma=180°-beta=130°` (Stufenwinkelsatz)

4. Bestimmung von `delta`: `delta=180°-alpha=130°` (Stufenwinkelsatz)

c)

1. Bestimmung von a:`a=e+c+f = sqrt(d^2-h^2)+c+sqrt(b^2-h^2)=4","58+6+3","46=14","04`

2. Bestimmung von `alpha`: `sin alpha=h/d hArr alpha=sin^(-1)(h/d)`  Es folgt: `alpha=23","58°`.

3. Bestimmung von `delta`: `delta=180°-alpha=156","42°` (Stufenwinkelsatz)

4. Bestimmung von `beta`: `beta=sin^(-1)(h/b)=30°`

5. Bestimmung von `gamma`: `gamma=180°-30°=150°` (Stufenwinkelsatz)

d)

1. Bestimmung von `alpha`:

` h^2=d^2-e^2=4-e^2`

  und

`h^2=b^2-f^2=b^2-(a-c-e)^2=9-(4-e)^2`

Gleichsetzen ergibt:

`4-e^2=9-(4-e)^2`

`hArr 4-e^2=9-(16-8e+e^2)`

`hArr 8*e=11`

`hArr e=1",375`

`cos alpha=e/d=0","6875` Es folgt `alpha=cos^(-1) (0","6875)= 46","57°`.

2. Bestimmung von `delta`: `delta=180°-46","57°=133","43°` (Stufenwinkelsatz)

3. Bestimmung von `beta`:

`f=a-(c+e)=8-(4+1","375)=2","625`

`cos beta=f/b=0","875`  Es folgt `beta=cos^(-1) (0","875)=28","96°`.

4. Bestimmung von`gamma`: `gamma=180°-28","96°=151","05°` (Stufenwinkelsatz)

Aufgabe 8

 Markieren Sie die richtigen Aussagen:

Eine senkrecht verlaufende Gerade hat einen Steigungswinkel von 90°.

Eine senkrechte verlaufende Gerade hat eine 100% Steigung.

Halbiert man die Steigung, so halbiert sich der Steigungswinkel.

Ist m negativ, so liefert `tan^(-1)m` einen negativen Winkel.

100% Steigung bedeuten einen 45° Anstiegswinkel.

200% Steigung bedeuten einen 90° Anstiegswinkel.

 

Lösung

 

Aufgabe 9

Eine Gebirgsstraße hat eine durchschnittliche Steigung von 12%. Auf einem 30 m langen Teilstück verläuft sie geradlinig mit genau dieser Steigung.

 

  1. Wie groß ist der Anstiegswinkel dieses Teilstücks?
  2. Welchen vertikalen Höhenunterschied überwindet die Straße in diesem Bereich?

 

Lösung

a)

`alpha=tan^(-1)0","12=6"," 843°`

Der Anstiegswinkel beträgt ca. 6,8°.

b)

`sin 6","843° = v/30 hArr v=3,574`

Der Höhenunterschied beträgt etwa 3,57 m.

Icon 2 Sterne 30x30 Aufgabe 10

Vor einem Turm mit unbekannter Höhe h befindet sich ein Wassergraben. Die Breite x des Grabens lässt sich berechnen, wenn man eine Linie der Länge a abschreitet und von den Endpunkten der Linie jeweils die Höhenwinkel `alpha` und `beta` bestimmt. Die nachfolgenden Rechenschritte führen auf eine Formel zur Berechnung von x (in Abhängigkeit von den gemessenen Werten).

Bringen Sie die Rechenschritte in die richtige Reihenfolge.

 

tan β = h/x ⇔ h = x·tan β und tan α = h/(a + x) ⇔ h = (a + x)·tan α

x = a·tan α/(tan β - tan α)

x·tan β = (a + x)·tan α

x·(tan β - tan α) = a·tan α

x·tan β - x·tan α = a·tan α

x·tan β = a·tan α + x·tan α

Lösung

 

Aufgabe 11

Berechnen Sie den Winkel `alpha` zwischen den Geraden g und  h.

Hinweis: Der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden beträgt höchstens 90°.

  1. g: y = 0,5x + 1,5;  h: y = 1,5x - 1
  2. y = 0,5x +1;  h: y = -1,5x - 1
  3. y = 1,5x +1;  h: y = -1,5x - 2
  4. Geben Sie eine Formel zur Berechnung des Schnittwinkels α an.

 

a

 b

c

Lösung

a)

Der Anstiegswinkel der Geraden g beträgt `alpha_g=tan^(-1)(0","5)=26","57°`

Der Anstiegswinkel der Geraden h beträgt `alpha_h=tan^(-1)(1","5)=56","31°`

Also gilt für den Schnittwinkel: `alpha=56","31°-26","57°=29","74°`

b)

Der Anstiegswinkel der Geraden g beträgt `alpha_g=tan^(-1)(0","5)=26","57°`

Der Anstiegswinkel der Geraden h beträgt `alpha_h=tan^(-1)(-1","5)=-56","31°`

Also gilt für den Schnittwinkel: `alpha=26","57°+56","31°=82","88°`

c)

Der Anstiegswinkel der Geraden g beträgt `alpha_g=tan^(-1)(1","5)=56","31°`

Der Anstiegswinkel der Geraden h beträgt `alpha_h=tan^(-1)(-1","5)=-56","31°`

Also gilt für den Schnittwinkel: `alpha=180°-(56","31°+56","31°)=67","38°` (siehe obigen Hinweis)

d)

`w=|alpha_g-alpha_h|`

Ist `w<=90°`, dann gilt `alpha=w`, ansonsten gilt `alpha=180°-w`.

Aufgabe 12

Begründen Sie:

  1. `sin alpha = cos beta = cos (90°-alpha)`
  2. `tan alpha=(sin alpha)/(cos alpha)`
  3. `sin^2 alpha + cos^2 alpha=1`

Lösung

 a)

`sin alpha = a/c = cos beta` und `beta=90°-alpha'

b)

`(sin alpha)/(cos alpha)=(a/c)/(b/c)=a/b=tan alpha`

 c)

`sin^2 alpha + cos^2 alpha=(a/c)^2+(b/c)^2=(a^2+b^2)/c^2=c^2/c^2=1`

Aufgabe 13
  0° 30° 45° 60° 90°
sin 0 0,5 `sqrt(2)/2` `sqrt(3)/2` 1
cos 1 `sqrt(3)/2` `sqrt(2)/2` 0,5 0
tan 0 `sqrt(3)/3` 1 `sqrt(3)` ∞

 Beweisen bzw. begründen Sie die Werte in der Tabelle.

Lösung

Werte für 45°-Winkel:

Im gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck ABC gilt nach dem Satz des Pythagoras `c=sqrt(a^2+a^2)=a*sqrt(2)`

Also:

`sin 45°=a/c=a/(a*sqrt(2))=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2`

Analog: `cos 45°=sqrt(2)/2`

`tan 45°=a/a=1`

Werte für 30°- und 60°-Winkel:

Über der Hypotenuse des Dreiecks ABC wird der Thaleskreis gezeichnet. Das Dreieck AMC ist gleichschenklig, das Dreieck MBC gleichseitig. Also gilt BC=r.

Nach dem Satz des Pythagoras folgt `AC=sqrt((AB)^2-(BC)^2)=sqrt(4*r^2-r^2)=r*sqrt(3)`

`sin 30°=(BC)/(AB)=r/(2*r)=0","5`

`cos 30°=(AC)/(AB)=(r*sqrt(3))/(2*r)=sqrt(3)/2`

Analog folgt: `sin 60°=sqrt(3)/2` und  `cos 60°=0","5`

`tan 30°=(BC)/(AC)=r/(r*sqrt(3))=1/sqrt(3)=sqrt(3)/3`

`tan 60°=(AC)/(BC)=(r*sqrt(3))/r=sqrt(3)`

Werte für 0°-Winkel:

`sin 0°=0`

Begründung: Nähert sich der Winkel `alpha` dem Wert 0, so strebt a gegen 0, also strebt auch `a/c` gegen 0.

`tan 0° = 0`, da auch `a/b` gegen 0 strebt.

`cos 0°=1`

Begründung: Nähert sich der Winkel `alpha` dem Wert 0, so strebt b gegen c, also strebt `b/c` gegen 1.

  

Werte für 90°-Winkel:

Die Gleichungen in Aufgabe 12 sollten auch für 0° und 90° Winkel gelten. Dann folgt

`sin 90° = cos 0° =1`

`cos 90° = sin 0° = 0`

`tan 90° = (sin 90°)/(cos 90°)` strebt gegen ∞, da der Zähler gegen 1 und der Nenner gegen 0 strebt.

  

Aufgabe 14

Um trigonometrische Werte zu bestimmen, haben Sie den Taschenrechner benutzt. Sie können sich denken, dass im Taschenrechner keine Tabelle der trigonometrischen Werte abgespeichert ist, sondern dass die Werte stets neu berechnet werden. Im Folgenden wird eine Berechnungsmöglickeit angegeben. Die Gültigkeit dieser Formel werden Sie vielleicht später im Analysis-Unterricht beweisen (Stichwort: Taylor-Polynom).

Es sei `x = (pi*alpha°)/(180°)`  (*)

`sin x = x - x^3/(3!) + x^5/(5!) - x^7/(7!) +...`

  1. Berechnen Sie sin 60° mithilfe der obigen Formel (bis `x^7`) mit Ihrem Taschenrechner.
  2. Ein Taschenrechner liefert sin 60°=0,8660254038. Bis zu welchem Summanden der obigen Formel müssen Sie rechnen, um dasselbe Ergebnis zu erhalten?
  3. Entwickeln Sie ein Excel Tabellenblatt zur Bestimmung von sinus-Werten mithilfe der angegebenen Formel.
    `sin x = sum_(n=0)^oo (-1)^n*x^(2n+1)/((2n+1)!)`

(*) Es handelt sich hier um das sog. Bogenmaß.

Lösung

a)

sin 60° = 1,0471975512 - 0,1913967696 + 0,0104945022 - 0,0002740121 = 0,8660212717

b)

sin 60° = 0,8660212717 + 0,0000041734 - 0,0000000416 + 0,0000000003 = 0,8660254038

Letzter Summand: `x^13/(13!)`

c)

 

Die Formel in Zelle C5 lautet:

=POTENZ(-1;B5)*POTENZ(B$2;2*B5+1)/FAKULTÄT(2*B5+1)

 

 

 

 

 

 

 

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