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Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck - Lehrtext
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In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die Seiten, die den rechten Winkel bilden, Katheten. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse. Sind `alpha` und `beta` die beiden spitzen Winkel, dann heißt die Kathete, die dem jeweiligen Winkel gegenüberliegt, Gegenkathete. Die jeweils andere Kathete heißt Ankathete. Im rechten Bild ist die Seite c die Hypotenuse. Die Seite a ist die Gegenkathete von `alpha` und gleichzeitig die Ankathete von `beta`. Die Seite b ist die Gegenkathete von `beta` und gleichzeitig die Ankathete von `alpha`.
Unter dem sinus (abgekürzt sin) eines spitzen Winkels versteht man das Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse. `sin alpha = a/c` und `sin beta=b/c`
Unter dem cosinus (abgekürzt cos) eines spitzen Winkels versteht man das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse. `cos alpha = b/c` und `cos beta=a/c`
Unter dem tangens (abgekürzt tan) eines spitzen Winkels versteht man das Verhältnis von Ankathete und Gegenkathete. `tan alpha = a/b` und `tan beta=b/a` |
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Ausführliche Informationen über den Steigungsbegriff bei Geraden finden Sie hier .
Gegeben ist eine Gerade mit der Gleichung y = mx + n. Der Steigungswinkel ist der Winkel zwischen der Geraden und der x-Achse bzw. einer Parallelen zur x-Achse. Steigt/fällt die Gerade, so hat der Winkel ein positives/negatives Vorzeichen. Eine Parallele zur x-Achse hat einen Steigungswinkel von 0°.
Dann gilt für den Steigungswinkel der Geraden g: `alpha_g=tan^(-1) m`.
Schnittwinkel `alpha` zwischen den Geraden g und h:
`w=|alpha_g-alpha_h|`
Ist `w<=90°`, dann gilt `alpha=w`, ansonsten gilt `alpha=180°-w`.
Anmerkung: Sich schneidende Geraden bilden immer zwei Winkel. Unter dem Schnittwinkel versteht man den nicht stumpfen Winkel.
Beispiele:
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`g: y=1/4*x+1` `alpha_g=tan^(-1)(1/4)=14,04°`
`h: y=-3/2*x+3` `alpha_h=tan^(-1)(-3/2)=-56,31°`
Schnittwinkel: `alpha=|14","04°-(-56","31°)|=70","35°` |
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Aufgrund der Ähnlichkeitssätze bzw. der Strahlensätze hängen die sinus-, cosinus- und tangens-Werte nur von der Größe des jeweiligen Winkels ab. Da man mit einem Taschenrechner diese Werte abrufen kann, lassen sich folgende Berechnungen durchführen (`gamma=90°`):
Teil 1 (Gegeben sind ein spitzer Winkel und eine Seite)
1. Gegeben sind `alpha` und a
`c=a/sin alpha`; `b=a/tan alpha` oder `b=sqrt(c^2-a^2)`; `beta=90°-alpha`
2. Gegeben sind `alpha` und b
`c=b/cos alpha`; `a=b*tan alpha` oder `a=sqrt(c^2-b^2)`; `beta=90°-alpha`
3. Gegeben sind `alpha` und c
`a=c*sin alpha`; `b=c*cos alpha` oder `b=sqrt(c^2-a^2)`; `beta=90°-alpha`
Analoges gilt, wenn `beta` und eine Seite gegeben sind.
Teil 2 (Gegeben sind 2 Seiten)
1. Gegeben sind a und c
`sin alpha = a/c hArr alpha=sin^(-1)(a/c)` und weiter wie im Teil 1
`sin^(-1)` ist die Umkehrfunktion von sinus (gelesen: sinus invers) und wird auch mit `arcsin` (arcussinus) bezeichnet.
2. Gegeben sind b und c
`cos alpha = b/c hArr alpha=cos^(-1)(b/c)` und weiter wie im Teil 1
`cos^(-1)` ist die Umkehrfunktion von cosinus (gelesen: cosinus invers) und wird auch mit `arccos` (arcuscosinus) bezeichnet.
3. Gegeben sind a und b
`tan alpha = a/b hArr alpha=tan^(-1)(a/b)` und weiter wie im Teil 1
`tan^(-1)` ist die Umkehrfunktion von tangens (gelesen tangens invers) und wird auch mit `arctan` (arcustangens) bezeichnet.
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | Graphen | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| sin |
0
`sqrt(0)/2` |
0,5
`sqrt(1)/2` |
`sqrt(2)/2`
`sqrt(2)/2` |
`sqrt(3)/2`
`sqrt(3)/2` |
1
`sqrt(4)/2` |
 |
| cos |
1
`sqrt(4)/2` |
`sqrt(3)/2`
`sqrt(3)/2` |
`sqrt(2)/2`
`sqrt(2)/2` |
0,5
`sqrt(1)/2` |
0
`sqrt(0)/2` |
|
| tan | 0 | `sqrt(3)/3` | 1 | `sqrt(3)` | ∞ |
Beweis siehe Aufgabenteil
`sin alpha = cos beta = cos (90°-alpha)`
`tan alpha=(sin alpha)/(cos alpha)`
`sin^2 alpha + cos^2 alpha=1`
Beweis siehe Aufgabenteil