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Trigonometrische Funktionen - Lösungen
Berechnen Sie das Bogenmaß `b_(alpha)` des vorgegebenen Winkels.
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Geben Sie den Winkel `alpha_b^@` des vorgegebenen Bogenmaßes an.
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Ordnen Sie die Funktionsgleichungen zu.
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Geben Sie jeweils die Amplitude `a`, die Periode `T` und die Verschiebungen gegen die t- (`b`) und mit der f(t)-Richtung (`c`) an.
(Dezimalwerte auf 2 Stellen nach dem Komma)
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Geben Sie jeweils eine Funktionsgleichung der Form `f(t) = a*sin(pt + b) + c` an, die die angegebenen Bedingungen erfüllt und begründen Sie Ihre Wahl. [Bsp.: `f(t) = 0.4*sin(-3t + 1) - 5`]
- Die Periode beträgt `pi` und es existieren keine Stellen mit einem negativen Funktionswert.
- Die Periode ist dreimal so groß wie bei der Funktion mit der Gleichung `g(t) = 2*sin(2t -1)` und der Funktionswert bei `t=0` ist `1`.
- Alle Funktionswerte liegen im Bereich `[-2;2]` und werden alle angenommen. Die Periode beträgt `2`.
- Der Funktionsgraph ist gegenüber der sin-Funktion um `pi` nach rechts verschoben und alle Funktionswerte sind kleiner als `-2` .
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zu a. Funktionsgleichung: `f(t) = sin(\color{red}{2}t) \color{red}{+ 1}` Berechnung der Periode mit dem Vorfaktor `\color{red}{2}`: `(2 pi)/T = \color {red}{2} rArr T = pi`. Durch die Verschiebung um `\color{red}{+ 1}` des sin-Graphen nach oben sind alle Funktionswerte `>= 0`, also nicht negativ. |
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zu b. "alte" Funktionsgleichung: `f(t) = 2*sin(2t -1)` Funktionsgleichung: `f(t) = \color{red}{2}sin(2/\color{red}{3} t -1) \color{red}{+ 1 - 2sin(0 - 1)}` `= 2sin(2/3 t - 1) + 2.68` Der Vorfaktor `\color {red}{ 2}` kann identisch bleiben. Durch die Division durch `\color{red}{3}` wird die alte Periodenlänge verdreifacht. Die Anhebung um `\color{red}{+ 1 - 2sin(0 - 1)}` führt zum neuen Funktionswert `1` bei `t = 0`. Mit `f(0) = -1.68` wird der Wert mit `+2.68` zu `1` ergänzt.
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zu c. Funktionsgleichung: `f(t) = \color{red}{2}sin(\color{red}{pi} t)` Die Vergößerung der Amplitude der sin-Funktion auf `\color{red}{2}` führt dazu, dass alle Werte im Bereich `[-2 ; +2]` angenommen werden. Berechnung der Periode mit dem Vorfaktor `\color{red}{pi}`: `(2 pi)/T = \color {red}{pi} rArr T = 2`. |
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zu d. Funktionsgleichung: `f(t) = sin(t \color{red}{- pi}) \color{red}{- 3.1} ` Die Verschiebung nach "rechts" um `pi` ergibt den Wert `\color{red}{- pi}` in der Klammer. Die Verschiebung nach unten um mehr als `3`, hier `\color{red}{- 3.1}`, führt dazu, dass alle Funktionswerte echt kleiner als `-2` sind. |
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